"Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue." David Hilbert (1862-1943), mathématicien Allemand

Apprendre les mathématiques, c'est comme prendre des cours de piano ou des cours de guitare : cela ne s'invente pas, et il vaut mieux comprendre, déduire par raisonnement logique, plutôt qu'apprendre par cœur.

Comprendre la résolution d'une équation, d'inéquations, d'équations différentielles, savoir faire un tableau de variation d'une fonction affine ou d'une fonction linéaire, etc.

Bien sûr, les cours de mathématiques imposent de connaître les tables de multiplication et d'apprendre chaque théorème, surtout en géométrie ou en probabilités (les fameuses loi normale et loi binomiale ne sont pas innées).

Mais pour analyser une fonction - étudier les limites de fonctions, étudier une fonction logarithme ou exponentielle -, faire du calcul intégral, etc., il vaut mieux comprendre le langage mathématique.

C'est comme un cours d'allemand ou un cours d'anglais : on apprend du vocabulaire et de la grammaire mais il faut aussi comprendre comment construire une phrase.

Dès le niveau collège, on voit apparaître une première bête noire des élèves, qui ne sont pas toujours unis par les liens sacrés des mathématiques : la fonction affine.

Puisque les fonctions se trouvent dans les programmes scolaires et dans le programme de révisions du brevet des collèges, il ne faut pas se tromper. Il est bien sûr possible de compléter son apprentissage par un cours de maths 3ème ou cours de maths seconde à domicile.

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
1er cours offert !
Ludivine
4,9
4,9 (10 avis)
Ludivine
45€
/h
1er cours offert !
Daniel
4,9
4,9 (24 avis)
Daniel
40€
/h
1er cours offert !
Vincent
5
5 (6 avis)
Vincent
40€
/h
1er cours offert !
Rebecca
4,9
4,9 (11 avis)
Rebecca
45€
/h
1er cours offert !
Adeline
5
5 (10 avis)
Adeline
40€
/h
1er cours offert !
Virginie
4,8
4,8 (6 avis)
Virginie
40€
/h
1er cours offert !
Giuseppe enrico
4,7
4,7 (6 avis)
Giuseppe enrico
30€
/h
1er cours offert !
Steven
4,8
4,8 (4 avis)
Steven
50€
/h
1er cours offert !
Ludivine
4,9
4,9 (10 avis)
Ludivine
45€
/h
1er cours offert !
Daniel
4,9
4,9 (24 avis)
Daniel
40€
/h
1er cours offert !
Vincent
5
5 (6 avis)
Vincent
40€
/h
1er cours offert !
Rebecca
4,9
4,9 (11 avis)
Rebecca
45€
/h
1er cours offert !
Adeline
5
5 (10 avis)
Adeline
40€
/h
1er cours offert !
Virginie
4,8
4,8 (6 avis)
Virginie
40€
/h
1er cours offert !
Giuseppe enrico
4,7
4,7 (6 avis)
Giuseppe enrico
30€
/h
1er cours offert !
Steven
4,8
4,8 (4 avis)
Steven
50€
/h
1er cours offert>

Fonction affine, définition et théorèmes

Une fonction affine est une fonction qui, à toute valeur x définie sur cours de math avec un prof particulier.

Découvrez aussi la division euclidienne !

Faire la représentation graphique d'une fonction affine

Je me rappelle qu'au collège, je ne devais pas ma modeste réussite scolaire aux mathématiques. En particulier l'analyse de fonctions : il a fallu un certains temps, faire de nombreux cours et exercices de maths pour avoir enfin le déclic et perfectionner mon niveau.

Les maths pour les nuls : la base, de niveau collège.
Quel est le coefficient directeur de cette droite ?

Apprendre à tracer une droite de fonction affine sur un repère graphique nécessite pour le professeur de maths, d'être pédagogue et de transmettre une méthode efficace pour chaque élève.

C'est pourtant facile, pourrait-on dire. Sauf que quand on n'a pas compris...

Lorsque je donne des cours de piano à des amis complètement débutants, ceux-ci ne comprennent pas d'emblée les écarts d'intervalles permettant de dissocier un accord majeur d'un accord mineur : la notion de tierce mineure ou tierce majeure implique des calculs d'intervalles (tons et demi-tons entre les notes). Pourtant, c'est simple pour moi... 

Pour construire la droite d'une fonction affine, prenons un exemple :

Soit la fonction f, définie par f(x) = 2- 3.

f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c'est donc bien une fonction affine.

On va chercher à tracer la droite d'équation y = 2x - 3. Puisqu'il s'agit d'une droite, il suffit de ne trouver que deux points pour la tracer.

On va chercher les trois valeurs de x arbitraires et faciles à lire sur les repère, puis on calculera leurs images de f(x).

  • Pour x = 0, f(x) = -3 : noté point A,
  • Pour x = 2, f(x) = 1 : noté point B.

On obtient les points A et B, de coordonnées A (0 ; -3) et B (2 ; 1).

On pourra cependant ajouter un troisième point pour éviter les erreurs et faire une vérification, soit x = -2, f(x) = -7. On peut maintenant tracer la droite d'équation y = 2x -3 en reliant chaque point entre-eux.

Autre méthode :

En partant de l'ordonnée à -3, on va "monter" de 4 unités sur l'axe des ordonnées, et se décaler de 2 unités vers la droite sur l'axe des abscisses, ou "monter" de 6 unités sur les ordonnées et se décaler de 3 unités sur l'axe des x.

Quand augmente d'une unité, augmente de deux unités, d'où a = 2.

On obtient les points de coordonnées suivantes : A (0 ; -3), B (2 ; 1), C (3 ; 3), ce qui suffit pour tracer la droite d1, où tout point de la droite vérifie l'équation y = 2x - 3.

Découvrez ici ce qu'est la géométrie !

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
1er cours offert !
Ludivine
4,9
4,9 (10 avis)
Ludivine
45€
/h
1er cours offert !
Daniel
4,9
4,9 (24 avis)
Daniel
40€
/h
1er cours offert !
Vincent
5
5 (6 avis)
Vincent
40€
/h
1er cours offert !
Rebecca
4,9
4,9 (11 avis)
Rebecca
45€
/h
1er cours offert !
Adeline
5
5 (10 avis)
Adeline
40€
/h
1er cours offert !
Virginie
4,8
4,8 (6 avis)
Virginie
40€
/h
1er cours offert !
Giuseppe enrico
4,7
4,7 (6 avis)
Giuseppe enrico
30€
/h
1er cours offert !
Steven
4,8
4,8 (4 avis)
Steven
50€
/h
1er cours offert !
Ludivine
4,9
4,9 (10 avis)
Ludivine
45€
/h
1er cours offert !
Daniel
4,9
4,9 (24 avis)
Daniel
40€
/h
1er cours offert !
Vincent
5
5 (6 avis)
Vincent
40€
/h
1er cours offert !
Rebecca
4,9
4,9 (11 avis)
Rebecca
45€
/h
1er cours offert !
Adeline
5
5 (10 avis)
Adeline
40€
/h
1er cours offert !
Virginie
4,8
4,8 (6 avis)
Virginie
40€
/h
1er cours offert !
Giuseppe enrico
4,7
4,7 (6 avis)
Giuseppe enrico
30€
/h
1er cours offert !
Steven
4,8
4,8 (4 avis)
Steven
50€
/h
1er cours offert>

Comment déterminer une fonction affine ?

Déterminer une fonction est facile si l'on connaît les valeurs de et b. Dans notre exemple f(x) = 2x - 3.

On sait que f(2) = 1, que f(-2) = -7 et que f(1) = -1. 

Pour déterminer notre fonction, deux méthodes peuvent s'employer : le calcul et la lecture sur le repère.

Objectif : maîtriser les fonctions avant d'aborder Pythagore.
Calculer a et b sans s'aider du graphe. Puis tracer la droite. On trouve ?

Déterminer une fonction à partir de la représentation graphique

C'est la méthode la plus facile, mais dès la classe de seconde, le graphe ne sera pas forcément fourni au contrôle de fin de chapitre.

Il faudra s'habituer avec nos professeurs particuliers à se détacher autant que l'on peut de la représentation graphique.

Pour déterminer graphiquement f(x) = 2x - 3, il suffit de voir à quels points la droite coupe les axes des et des y. Dans notre cas, on retrouve nos points A (0 ; -3), B (2 ; 1) et C (3 ; 3).

On en déduit que la droite d1 comporte une équation de type y = 2x - 3.

Découvrez aussi ici nos cours de maths 1ere S ou cours de maths Terminale S !

Déterminer une fonction par calculs

Si nous n'avons pas le graphe à disposition, ou que le prof de maths demande à ce que le raisonnement figure sur la copie, comment faire ?

Une formule magique existe, la voilà.

Quand est une fonction affine non linéaire, les valeurs de vérifiant f(x) ne sont pas proportionnelles. Pourtant, les écarts entre les valeurs de le sont.

Pour calculer le coefficient directeur avec deux nombres x1 et x2 et leur image par : a = .

Or nous avons x1 = 0 et x2= 2, avec f(x1) = -3 et f(x2) = 1.

En remplaçant les inconnues, on obtient bien a = (-3 - 1) / (0 - 2) = -4 / - 2, soit a = 2.

Découvrez également ce qu'est l'algèbre !

Étudier le signe d'une fonction affine

Et alors, maintenant que l'on a la pente de la droite et son tracé graphique, comment étudier le signe de ?

Multiplier les exercices de mathématiques pour susciter le déclic.
Doucement, doucement...Repose cette batte tout de suite, tu vas y arriver...

Quiconque fera ou a fait des études supérieures avec des cours de statistiques, même sans être "matheux", est passé par là : l'étude de signes.

Rappelons que si est positif, alors la fonction est croissante et inversement.

Si x1<x2, alors ax1<axdonc ax1 + b < ax2 + b et f(x1) < f(x2). En l'occurrence, -2 est bien inférieur à 0, et -7 est inférieur à -3.

Notre fonction f(x) = 2x - 3 est donc bel et bien croissante. Les valeurs de f(x) vont donc partir du négatif vers le positif en franchissant le point 0 à l'ordonnée - 3.

L'équation ax + b = 0 (avec a ≠ 0) a une solution unique qui est x = ((- b) / a). La droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées ((-b)/a ; 0).

Comme b = - 3 et a = 2, on en déduit que le signe de devient positif au point de coordonnées (2/3 ; 0).

Pour étudier la variation de f(x), il faut connaître la dérivation en maths :

On notera : f est dérivable sur  et, pour tout xℝ, f '(x) = 2x - 3 = 2. f ' (x) est donc positive.

Les signes de seront donc : négatif de - ∞ au point 2/3, et positif de la valeur 2/3 à +∞.

Entre deux cours particuliers de maths, nous avons trouvé un entraînement idéal pour les élèves souhaitant entrer en 1ère S ou améliorer leur moyenne durant l'année scolaire en cours : une fiche de révision de Bac Pro sur les fonctions affines, réalisée par l'académie de Poitiers.

Découvrez enfin notre définition des tables de multiplication...

À quoi servent les fonctions affines ?

La plus grande question en cours de mathématiques c’est « mais à quoi servent les maths » ? Cette question est d’autant plus pertinente quand on se prend la tête avec les calculs des fonctions affines. Que peuvent vraiment bien faire pour nous ces fonctions affines ?

À quoi sert une fonction affine ?
Les mathématiques paraissent souvent inutiles pour les élèves. On les déteste ou on les adore.

Alors que certains calculs mathématiques sont très poussés et très peu utiles dans notre quotidien, les fonctions affines, elles, sont présentes presque tous les jours dans nos vies. Elles sont extrêmement utiles pour prévoir, en quelques sortes, l’avenir d’une tendance.

Ainsi, par exemple, si vous disposez d’un peu d’argent de côté (100€ par exemple), et que vous décidez de mettre 50€ de côté tous les mois, vous aimeriez savoir à partir de quand vous pourriez vous payer un nouveau vélo. L’inconnu est donc de savoir dans combien de mois cela sera réalisable. Il faudra alors effectuer le calcul suivant : 50x + 100. On retrouve alors bien une fonction affine qui, après l’avoir résolu, vous donnera la date à laquelle vous pourrez acheter ce fameux vélo.

Et bien qu’on ne pose pas spécialement l’équation sur le papier, c’est un calcul que l’on fait machinalement. Pourtant, il s’agit bien de fonctions affines.

Les fonctions affines peuvent également par exemple servir pour calculer les intérêts que vous toucherez à la banque au bout de plusieurs années, ou bien le poids que vous perdrez au bout de plusieurs semaines de sport, etc.

Les fonctions affines nous rappellent le fait que le monde et notre quotidien sont en perpétuel mouvement. Les fonctions affines et les courbes sont malheureusement très utiles lors d’épidémie comme la COVID-19. Cela permet alors de faire quelques prédictions et d’anticiper ce qu’il va se passer. Bien sûr, les fonctions affines ne résolvent pas tous les problèmes et s’appliquent dans des domaines où l’évolution est non variable.

Par exemple, en mettant 50€ de côté par mois, je suis sûre que les 50€ rentreront dans mes économies tous les mois. Il n’y a pas d’autres inconnues que le temps que je vais mettre pour pouvoir m’acheter mon vélo.

Les fonctions affines sont alors utiles pour certaines situations. Savoir comment ces dernières fonctionnent est important pour la culture générale, et mieux comprendre le monde.

Mais les fonctions affines sont aussi tout simplement utiles pour les élèves ayant décidé de continuer leurs études dans des domaines scientifiques comme les mathématiques bien évidemment, mais aussi en physique, chimie, en économie, ou encore en commerce.

Sans aller chercher une utilité existentielle à ces fonctions affines, ces dernières permettent tout simplement d’avoirs les outils de base pour progresser dans d’autres calculs.

Comment utiliser les maths ?
Prêt pour des études supérieures en mathématiques ? (Source : par Jérémy Barande).

Le lycée et plus particulièrement la spécialité maths ont pour objectif de préparer les élèves au bac, mais aussi aux études supérieures. Ces bases de maths sont ainsi indispensables pour ne pas se retrouver largué et ainsi avancer sereinement pour aller plus loin dans les calculs mathématiques. Des calculs mathématiques qui pourront alors vous servir à développer un programme informatique, à calculer des données physiques ou à devenir comptable dans une entreprise.

Alors même si l’utilité des fonctions affines ne paraît pas évident au premier abord, il est important de faire confiance à ses professeurs.

Conclusion

Les fonctions affines sont un très gros chapitre des cours de mathématiques. Ces dernières sont étudiés tout au long du lycée, de la seconde à la terminale, pour ceux qui auront choisi la spécialité maths. Pour partir sur de bonnes bases, voici les points essentiels à retenir :

  • Une fonction affine est une fonction ayant pour structure ax + b dont l'inconnue X est un nombre réel et les données a et b, des nombres relatifs donnés. Le but étant alors de calculer l'inconnue X.
  • La fonction affine peut être représentée par un graphique et notamment une ligne droite.
  • Une fonction affine peut alors se déterminer par le calcul ou bien la lecture sur le repère.
  • Si la donnée a est positive, alors la fonction est croissante et inversement.
  • Il est nécessaire de connaître par cœur les dérivations pour pouvoir étudier le signe d'une fonction affine.
  • Les fonctions affines servent au quotidien pour évaluer une tendance dont la variable est stable. Elles servent également à avoir les bases pour continuer ses études supérieures dans le monde scientifique.

Il ne faut surtout pas faire l'impasse sur ce chapitre !

 

Besoin d'un professeur de Maths ?

Vous avez aimé l'article ?

5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Yann

Fondateur de SuperPROF, je suis dévoré par l'envie de découvrir et de toujours apprendre de nouvelles compétences.