Chapitres
- 01. L'algèbre, une partie importante des mathématiques
- 02. Le nombre i : propriétés et définition !
- 03. Quelle est l'histoire du nombre i ?
- 04. Pourquoi utiliser les nombres imaginaires purs ?
- 05. Où apprendre le nombre i ?
- 06. Étude de cas avec le nombre i
- 07. Les ressources Internet pour apprendre les nombres imaginaires purs
- 08. Comment réviser les nombres imaginaires purs ?
"La vérité est parfaite pour les mathématiques, la chimie, la philosophie mais pas pour la vie." Ernesto Sabato (1911-2011)
Réussir ses exercices de maths est une prouesse technique pour bon nombre d'élèves du collège au baccalauréat : du logarithme népérien à la fonction exponentielle, de l'algèbre à la géométrie, on peine parfois à se représenter les maths de façon concrète.
C'est que, les cours de mathématiques, ce n'est pas toujours si concret que cela : en témoigne le nombre i, qui figure parmi les nombres complexes, et dont l'utilisation en maths peut paraître assez difficile. Pourtant, rassurez-vous : on étudie les nombres complexes dès la Terminale S, ce qui signifie que cela est accessible à tous !
Depuis la dernière enquête PISA menée en 2015, il ressort que les élèves des pays asiatiques sont meilleurs en mathématiques qu'en Europe, et c'est en Amérique Latine que l'on rencontre les scores les moins élevés.
Dans cet article, la rédac' de Superprof s'intéresse à un nombre irrationnel de l'algèbre : le nombre i !
L'algèbre, une partie importante des mathématiques
- L'algèbre non commutative,
- L'algèbre nouvelle,
- L'arithmétique,
- Le calcul formel,
- La géométrie algébrique,
- L'algèbre homologique,
- L'algèbre linéaire,
- La structure algébrique,
- Le théorème d'algèbre.
Et bien d'autres disciplines encore !
Autant dire que l'usage des nombres est très varié, et qu'un apprentissage méticuleux est nécessaire. Rien qu'en algèbre, il faudrait passer des centaines d'heures pour voir l'ensemble du programme. Mais certains domaines, comme les nombres imaginaires, ont des propriétés bien particulières et par définition, complexes. Vous voulez en savoir plus ? Alors, c'est parti ! Et justement, dans leur forme algébrique, les nombres complexes se présentent de la manière suivante, avec la formule :
a + ib
Le nombre a correspond à la partie réelle, tandis que la partie b correspond à la partie imaginaire. Il faut d'abord comprendre que les nombres complexes comprennent à la fois des nombres réels et des nombres imaginaires. Plus exactement, on retrouve les appellations suivantes :
- N = ensemble des entiers naturels,
- Z = ensemble des entiers relatifs,
- D = ensemble des décimaux,
- Q = ensemble des rationnels,
- R = ensemble des réels,
- C = ensemble des complexes.
Le nombre imaginaire pur, appelé "i", fait partie du corps des nombres complexes, auquel on applique le carré -1. Nous allons vous expliquer plus en détails dans cet article les tenants et les aboutissants de ce nombre fascinant.
Faisons un tour d'horizon plus précis de la question !
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Le nombre i : propriétés et définition !
Souvent méconnu des élèves au niveau collège et lycée, ceux-ci ont affaire au nombre i lorsqu'ils abordent les programmes scolaires en classe de terminale scientifique.
Le nombre i... Hum, une lettre de l'alphabet plutôt non ?
Le i est définit en mathématiques comme un nombre complexe dont l'assimilation est simple, mais requiert des facultés d'abstraction.
En effet, on s'explique :
En maths, certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle car il n'existe pas de nombre réel dont le carré est négatif.
Cela signifie que l'on ne peut multiplier une valeur par elle-même sans produire un résultat positif : par exemple, 2² font 4, tout comme (-2)².
Pour saisir cette propriété mathématique, il faut remonter aux cours de mathématiques de 4ème au collège, où l'on apprend la règle des signes : multiplier, soustraire, diviser ou multiplier plus par plus donne plus, moins par plus et plus par moins donnent un signe négatif, et moins par moins donne un signe positif.
Si le théorème mathématique veut que le produit de deux nombres négatifs est positif, alors on déduit que le carré de tout nombre, même négatifs, est positif.
Partant, on définit dès l'année de 4ème - entre les figures géométriques, le théorème de Pythagore et de Thalès -, les racines carrées comme suit : la racine carrée de x est le nombre qui, élevé au carré, est égal à x.
Si n=
, alors n² = x. Ainsi a-t-on 
= 3.
Où veut-on en venir ?
Au cours des nombreux siècles de l'histoire des mathématiques, c'est la recherche de racines carrées pour des nombres négatifs qui a conduit à l'invention des nombres complexes tels que i.
Or l'ensemble des nombres complexes est envisagé comme extension de l'ensemble des nombres réels contenant un nombre imaginaire noté i exposant (a;b) tels que i = racine carrée de -1 et i² = -1, avec le carré de (-i) aussi égal à -1.
Le principe est que tout nombre peut s'écrire sous la forme a + i b, où a et b sont des nombres réels, négatifs ou positifs.
La racine carrée de -4 est donc égale à 2i.
Tout nombre de la forme où b est différent de 0 est un imaginaire pur.
C'est pour cela que les nombres "racine carrée de -4 = 2i", "racine carrée de -16 = 4 i" etc. sont des nombres imaginaires.
Si la racine carrée de -1 n'existe pas, on ne peut donc pas estimer de décimales exactes ou approchées comme on le fait pour les racines de nombres positifs (exemple, racine carrée de 5 = 2,236).
Le nombre i est ainsi un concept permettant de concevoir toute une famille de racines carrées de nombres négatifs.
Petite interrogation :
- Quel nombre obtient-on si l'on élève 3 i au carré ?,
- Quel est celui de ces deux nombres dont le carré de -16 ( -4 ou 4i) ?,
(Les réponses se trouvent en bas de l'article).
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Quelle est l'histoire du nombre i ?
Les nombres complexes émergent au 16ème siècle, lorsque Gerolamo Cardano (1501-1576) - Jérôme Cardan -, un mathématicien Italien, introduit 
pour résoudre une équation du troisième degré.
Raphaël Bombelli (1526-1572 ou 1573) est le premier mathématicien à avoir élaboré des règles de calcul sur les "nombres impossibles" dans Algebra (algèbre) où apparaissent les premières propriétés des nombres complexes.
Le nombre i prend naissance suite à la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré, des équations polynomiales avec une racine cubique.
En 1637, le philosophe Français René Descartes (1595-1650) baptise ces valeurs impossibles des nombres imaginaires.
Plus tard, la notation i apparaît en 1777 sous l'impulsion des travaux de Leonhard Euler (1707-1783) - oui, l'inventeur du nombre e pour calculer la fonction exponentielle -, pour les nombres qu'il qualifie d'impossibles ou imaginaires.
Au cours du 19ème siècle, notamment grâce aux travaux de C. F. Gauss (1777-1855), ces nombres complexes imaginaires purs finissent par être considérés comme des nombres à part entière.
L'intérêt des nombres complexes tels que e ou i est de pouvoir, selon Augustin Louis Cauchy (1789-1857), "écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence", avec "une combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien en elle-même".
Facilitant le calcul algébrique, les nombres complexes sont également introduits dans la représentation géométrique pour en faciliter les calculs.
Pourquoi utiliser les nombres imaginaires purs ?
L'utilisation et l'application des nombres complexes sont multiples, même si lorsque l'on fait des cours et exercices de maths pour réviser son bac S, on ne voit pas trop l'utilité de calculer des nombres imaginaires...
Mais pourquoi donc avoir créé des nombres imaginaires ?
En fait, le nombre i permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle.
Mais en mathématiques, il est une erreur de considérer qu'une équation n'a pas de solution, puisque celle-ci dépend de l'ensemble des nombres considéré.
Voici deux exemples :
- L'équation x + 8 = 1 n'a pas de solution dans les ensembles de nombres naturels (x étant égal à -7), mais elle en a dans l'ensemble des nombres relatifs,
- L'équation x² (x = racine de 2) n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres rationnels, mais elle en a une dans l'ensemble des nombres irrationnels.
Et pourquoi pas imaginer que 2 + 2 font 10, tant qu'on y est...
En fait, grâce au nombre imaginaire noté i, on a pu résoudre absolument toutes les équations, qu'il s'agisse de nombres entiers, d'irrationnels ou de nombres décimaux.
L'utilisation du nombre imaginaire a également permis d'avancer dans la recherche physique et en électricité : le nombre i a permis l'étude des circuits imprimés des ordinateurs et est donc à la base de la révolution informatique du 20ème siècle.
Le passage aux nombres complexes et imaginaires purs permet la résolution de problèmes insolubles sans ce nombre i, pour certaines intégrales par exemple.
Les nombres complexes sont aussi utilisés par les ingénieurs lorsqu'ils ont à faire des calculs de formes d'ondes (en acoustique ou en électronique) ou de flux (aérodynamique, hydrodynamique) et sont employés dans l'utilisation des radars, de l'imagerie ou du sonar).
C'est à l'aide des nombres complexes que les ingénieurs peuvent donc décrire le comportement des circuits électroniques.
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Où apprendre le nombre i ?
Vous souhaitez progresser en mathématiques et l'aventure des nombres imaginaires, complexes et leur dose d'abstraction qu'il faut pour les comprendre, ça vous fascine ?
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Si prendre des cours de soutien à domicile représente un service trop dispendieux, on trouve également la solution des cours en ligne, dont voici quelques sites et chaînes de vidéos et tutoriels.
Khan Academy
Ce site pour apprendre les maths tous azimuts permet de réviser les nombres complexes à la fois en cours théoriques et en vidéo.
On y trouve des rappels sur les racines carrées, le nombre i, les racines carrées d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres complexes, le nombre dont le carré est -52 (par exemple), les puissances de i, etc.
Youtube
En tapant simplement "nombre i" dans la barre de recherches de Youtube, on obtient de nombreuses vidéos pour comprendre ce nombre imaginaire.
Puisqu'il peut paraître obscur de faire des calculs avec un nombre imaginaire, on rappellera qu'il s'agit d'un concept mathématique pour simplifier les calculs.
Il existe plusieurs dizaines de vidéos relatives au nombre i, en accès libre.
Ou comment faire des exercices interactifs de maths sans la contrainte d'un professeur derrière soi !
La réponse à la question "quel nombre obtient-on si l'on élève le nombre 3i au carré ?" est -9 (car (3i)²= 3² x i² = 9 i², or i² = -1).
Et pour "quel est celui de ces deux nombres dont le carré de -16 ( -4 ou 4i) ?", c'est 4i car la racine de - 16 est imaginaire, on la note donc 4i.
Étude de cas avec le nombre i
(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
Pour faire une multiplication avec deux nombres complexes, on va utiliser la double distributivité et la propriété i2 = -1. Cela donne l'exemple suivant :
(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i²=-7+22i
Pour le quotient, à savoir les divisions, l'opération est un peu plus complexe. On va d'abord multiplier les deux nombres par le "conjugué" du 2ème, et on simplifie le résultat. Cela revient à dire que le le conjugué d'un nombre complexe a + bi est le nombre a - bi. Voici l'exemple :
2 + 3i sur 4 + 5i = (2 + 3i)(4-5i) sur (4 = 5i)(4 - 5i) = 8 - 10i + 12i - 15i au carré sur 4 au carré - (5i) au carré = 23 + 2i sur 16 + 25 = 23 sur 41 + 2 sur 41i
Il est fortement conseillé de vous entraîner sur papier libre avant d'apprendre à utiliser une calculatrice avec les nombres complexes. L'important est de connaître les règles et le raisonnement scientifique avant de pouvoir faire vos calculs par vous-même. Pour cela, découvrez les meilleures ressources afin de vous améliorer ! Alors, c'est si compliqué que ça ?
Les ressources Internet pour apprendre les nombres imaginaires purs
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Des sites spécialisés dans l’enseignement, comme Studyrama, qui propose des contenus en mathématiques,
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Des sites spécialisés dans l’enseignement des mathématiques, comme CMaths.fr, où vous trouverez des solutions concrètes d’apprentissage pour les nombres complexes,
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Des sites de mise en relation avec des professeurs de mathématiques, comme notre plateforme Superprof : cela permet de bénéficier d’un accompagnement personnalisé selon votre niveau,
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Des sites d’exercices en ligne en mathématiques, provenant aussi bien de contenus officiels (annales de concours) que des contenus créés (associations de maths).
Du côté des sites d’enseignement généraux, ces ressources sont idéales si vous avez un niveau débutant en maths et que vous découvrez les nombres complexes pour la première fois. Les formules de nombres imaginaires seront relativement basiques, et les exercices sont orientés sur l’acquisition de basiques.
Pour monter d’un niveau, il faut regarder du côté des sites spécialisés dans les mathématiques. Par exemple, sur math.com ou le site des maths de la CNAM, il est possible d’accéder à des contenus adaptés à votre niveau, entre débutant, intermédiaire ou confirmé. Les exercices sont souvent interactifs, avec une correction immédiate de vos réponses, avec des commentaires sur le mode de raisonnement à adopter. Ce type de ressources est parfait pour réviser des basiques ou des acquis que vous possédez déjà sur les nombres imaginaires.
Pour approfondir votre compréhension des nombres imaginaires ou imaginaires purs, il peut y avoir un intérêt à contacter un professeur particulier de mathématiques. Pourquoi ? Tout simplement parce qu’il dispose de connaissances poussées en maths et peuvent vous donner les clés de compréhension de ces nombres complexes, ou vous expliquer comment fonctionne un concours de maths comme le CAPES.
La plupart de ces professeurs sont passés par là et leur expérience est d’une grande valeur pour vous guider dans votre apprentissage. Sur Superprof, la mise en relation se fait de deux manières : selon le niveau recherché et selon la localisation géographique. Vous pourrez facilement retrouver des cours de math seconde ou tous niveaux. De fait, trouver un professeur qui pourra vous aider à atteindre vos objectifs en un rien de temps, et près de chez vous, est désormais possible !
Une fois que vous avez appris les bases des nombres imaginaires, que vous avez consolidé vos connaissances et que vous êtes dans l’optique d’un examen, il suffit de passer aux sites d’exercices en mathématiques. Ces ressources sont parfaites pour vous entraîner régulièrement ou de manière intensive dans une discipline précise des maths, comme l’algèbre. Des sites comme
Sans oublier qu’il est possible de participer à des stages intensifs de cours de maths avec un focus sur les nombres imaginaires ! Pendant les vacances scolaires, auprès d’universités ou d’associations, tout est possible !
Comment réviser les nombres imaginaires purs ?
Il est vrai que les ressources en ligne sont un excellent moyen de découvrir les nombres complexes et de les appréhender, notamment parce que cela offre de nombreuses solutions de révision, du professeur particulier aux sites d’entraînement spécialisés pour les mathématiques.
Cependant, les ressources en version papier sont aussi d’une grande aide pour vos révisions de maths ! Rien de mieux qu’un livre comportant des annales d’exercice avec des nombres complexes, ou des présentations avec les formules mathématiques adaptées. Après tout, le jour d'un examen, ce n'est pas sur ordinateur mais bien sur papier : autant vous y habituer.
Voici quelques exemples de livres de références pour les nombres complexes et les nombres imaginaires :
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Nombres complexes, Terminale S, de Alain Piller,
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Histoire des nombres complexes, entre algèbre et géométrie, de Dominique Flament,
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Les nombres complexes, quand algèbre, analyse et géométrie se rejoignent, de chez Broché,
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Nombres complexes, polynômes et fractions rationnelles, exercices avec corrigés, de Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan,
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La géométrie des nombres complexes, exercices d’entraînement complexes, de Jean Trignan,
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Nombres complexes et géométrie dans l’espace, Terminale S, de Paul Milan,
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Nombres complexes, fonctions rationnelles (collection « bien débuter en mathématiques »), de Georges Zafindratafa.
Ce sont là des ouvrages généraux, qui s’adressent aussi bien à des étudiants, des débutants en mathématiques que des amateurs de chiffres complexes. Ils proposent aussi bien une introduction générale aux nombres complexes que des études de cas concrètes avec les nombres imaginaires.
Il existe aussi des ouvrages spécialisés sur les nombres complexes si vous préparez un concours. Par exemple, D.J Mercier à écrit « Oral CAPES maths 1 : nombres complexes », et cet ouvrage fait l’objet d’actualisations et de rééditions depuis quelques années. Même chose avec « Passeport pour la Prépa: nombres complexes » de Jacques Lévy. Ce sont des ressources idéales si vous voulez cibler une préparation particulière.
Si vous voulez trouver d’autres ouvrages ou faire quelques exercices ludiques, rendez-vous sur la Librairie des Mathématiques, le premier site spécialisé dans les maths de France : livres, jeux de société, nouveautés, tout tourne autour des maths ! Basés à Saint-Ouen, les tenants de cette librairie en ligne organisent également des évènements liés aux mathématiques, comme des concours ou des expositions.
En définitive, découvrir les nombres complexes n’est pas difficile : grâce aux nombreuses ressources dans le domaine des mathématiques, vous en trouverez nécessairement en fonction de votre niveau et de vos objectifs. Il suffit de vous renseigner auprès des bons interlocuteurs : n'hésitez pas à demander à des professeurs de lycée de faire des cours du soir de rattrapage ou de vous conseiller des ressources à utiliser pour votre apprentissage.
Si vous avez besoin d’une remise à niveau avant un examen ou un concours, il est fortement conseillé de multiplier les ressources, en travaillant aussi bien sur des ressources papiers, en ligne, et professorales !
Alors, que dites-vous des nombres imaginaires et des nombres complexes ? Quels sont vos conseils pour apprendre à les maîtriser ?
La plateforme qui connecte profs particuliers et élèves
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