"Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai." Bertrand Russel

En effet, le principe des mathématiques est de démontrer systématiquement ce qu'on pense être vrai. On affirme pas, on doit confirmer !

Nous allons essayer de ne pas trop vous raconter de bêtises aujourd'hui en vous parlant du nombre Pi.

Pi, représenté par la lettre grecque π, est une des constantes les plus importantes en mathématiques. Mais elle est aussi utilisée en physique et en ingénierie. 

Aussi appelé, constante d'Archimède, Pi exerce une fascination sans limite depuis sa découverte dans l'Antiquité. Il est même entré dans la culture populaire, et est célébré le 14 mars aux Etats-Unis (3/14) chaque année.

Dans cet article, on vous en dit plus sur ce que représente le nombre Pi et sur son utilisation, que vous pourrez retrouver lors de cours de maths seconde.

La définition du nombre Pi

Pourquoi autant de fascination autour du nombre π ?
Il est aussi appelé constante du cercle ou constante d'Archimède. (source : Le Soir)

La lettre π a été choisie en 1647 par l'Anglais William Oughtred (1574-1660), d'après le nom grec περίμετρος, qui signifie périmètre au XVIIIème siècle.

Le nombre Pi est défini comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, selon un plan euclidien.

C'est probablement la définition que tout le monde connaît.

Ou en tout cas, cela doit évoquer quelques vagues souvenirs (bons ou mauvais) chez vous !

Le nombre Pi se définit également comme le rapport de l'aire d'un disque mis au carré de son rayon.

Il s'agit de l'une des constantes les plus importantes et les plus utilisées en mathématiques.

Tous les cercles étant semblables, il suffit de connaître le rapport de la similitude pour passer d'un cercle à un autre.

Du coup, pour tout nombre réel positif noté k, si un cercle possède un rayon (ou un diamètre d=2r) qui est fois plus grand qu'un autre, alors son périmètre sera également fois plus grand.

On obtient donc le rapport suivant :

Cette similitude va multiplier l'aire par le carré de k, ce qui a permis aux mathématiciens de prouver que le rapport A/r² était constant.

Ainsi, obtient-on la formule suivante :

Mais cette définition, connue de tous et utilisée pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle, n'est pas la plus exacte en toute rigueur scientifique.

Ainsi, d'autres définitions utilisent des fonctions trigonométriques pour définir π.

L'une d'elle définit π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, où cos est définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe.

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L'histoire du nombre Pi

Dès l'Antiquité, les mathématiciens étaient persuadés qu'il était possible de calculer un rapport constant entre le périmètre du cercle et le diamètre de celui-ci.

Quelle est l'utilisation du nombre Pi ?
Saurez-vous calculer combien de décimales y a-t-il après 3,14 ?

Ils pensaient qu'il existait parallèlement un rapport entre l'aire du disque et le carré de son rayon.

Le nombre π intéresse les scientifiques depuis plus de 4 000 ans.

Une des plus célèbres approximations de π a été retrouvée dans le papyrus Rhind, publié par le scribe Ahmès (vers 1540 avant J-C) :

Il écrivit ainsi : L'aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées.

Il trouvait alors, au milieu du second millénaire avant notre ère, que π prenait la valeur (16/9)², soit 3,16.

En 1936, des archéologues ont retrouvé des tablettes de Babylone, rédigées en écriture cunéiforme et datant de 2 000 ans avant notre ère, représentant des calculs d'aire d'une valeur de π faisant 3+1/8, soit 3,125.

Au IIIe siècle avant J-C, le célèbre penseur Archimède (-287;-212) établit que le rapport de la surface d'un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre.

Sept siècles plus tard, le Siddhanta, un document trouvé en Inde datant de l'année 380 donne une approximation de π à 3 + 177/1250 = 3,1416.

La méthode d'Archimède avec des polygones à 192 côtés, puis 3072 côtés sera utilisée en Chine pour trouver une approximation de π au cent-millième (c'est-à-dire à 5 décimales).

Au Ve siècle de notre ère, le savant Chinois Tsu Chung Chih (430-501) parvient à trouver une approximation au millionième près, à 3,141592.

Les mathématiciens Arabes, dont on connaît les avancées phénoménales pour leur époque, pousseront encore plus loin le "jeu" en calculant des approximations de π à 14 décimales exactes.

Il faudra attendre la fin du XVIe siècle pour que les savants occidentaux ne parviennent à trouver des avancées concrètes sur ce nombre.

Le Français François Viete (1540-1603) trouve une approximation à 9 décimales en 1593.

En Allemagne, un mathématicien nommé Ludolph van Ceulen (1540-1610) trouve 34 décimales exactes en usant de la méthode d'Archimède avec des polygones à 60 x 233 côtés, ce qui a dû donner des calculs colossaux.

La période moderne et la Renaissance provoque une explosion culturelle, des progrès techniques rapides ainsi qu'une accélération sans précédent des recherches scientifiques.

C'est l'époque où de grands mathématiciens marqueront l'histoire grâce à leurs travaux : Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), John Machin (1680-1751), James Stirling (1692-1770).

C'est le célèbre mathématicien Leonhard Euler (1707-1783), par ailleurs connu pour ses progrès dans la connaissance du nombre e, qui fera s'imposer définitivement le caractère spécial π pour désigner le nombre Pi.

Les formules prennent alors la forme de calculs infinis et très performants.

Ainsi celles-ci se complexifient au fil des siècles, jusqu'à la prouesse de l'Indien Srinivasa Ramanujan (1887-1920).

Jeune mathématicien aux capacités de calcul prodigieuses, il estime que les connaissances de son temps sont trop académiques et dépassées. Autodidacte, il apprend seul les mathématiques et développe son propre système de notation.

Il découvre de nombreuses choses sans réelle démonstration, et propose des formules tendant vers une valeur approchée de π.

Certaines d'entre-elles sont encore utilisées de nos jours pour la programmation des ordinateurs !

L'une de ses formules, trouvée en 1910, par exemple :

Sa formule permet de calculer π avec 8 décimales.

Comment deviner la circonférence d'un tronc de baobab ?
Exercice de 4ème : calculez le tour en cm de cet arbre, 45 cm de rayon. Vous avez 10 minutes !

Grâce à ses apports multiples, la connaissance des décimales après la virgule de π a connu une croissance exponentielle à la fin du XXe siècle.

En 2020, plus de 31 400 milliards de décimales sont ainsi connues !

Ce record a été enregistré par Emma Haruka Iwao, un ingénieur et programmeur Japonais travaillant à Google.

Il trouve exactement 31 415 926 535 897 décimales de π !

Comment représenter le nombre Pi ?

Au collège, on a l'habitude d'utiliser une approximation de Pi.

Il est assez difficile d'envisager qu'on ne connaisse pas toutes les décimales d'un nombre, comme si celui-ci pouvait être infini.

Vous savez sans aucun doute que l'écriture décimale de la valeur approchée de Pi est environ égale à 3,1416, parfois même simplifiée à seulement 3,14.

La valeur approchée de π avec ses premières décimales est : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582.

On retient donc souvent, pour simplifier, que π = 3,14.

La valeur approchée de π retient 22 septièmes ou racine de 10.

En réalité, au niveau de connaissances de l'année 2013, les chercheurs et mathématiciens avaient trouvé plus de 12 mille milliards de décimales de Pi. Même si, dans la vie quotidienne, estimer la circonférence d'un cercle ne nécessite pas plus d'une dizaine de décimales de Pi.

En 1881, Simon Newcomb a démontré qu'il suffisait de 10 décimales de Pi pour calculer la circonférence de la Terre et de trente pour obtenir celle de l'univers visible.

Si vous connaissez déjà les 15 premières décimales de Pi, vous serez bien plus avancé que la majorité de vos amis : 3,141 592 653 589 793.

En fraction, le nombre Pi est représenté comme tel : 355/113. Facile à mémoriser, cette fraction était utilisée sur les calculatrices avant l'apparition de la touche π.

Pi reste un mystère pour les scientifiques et fascinent professionnels et amateurs qui essaient d'en savoir toujours davantage sur ce nombre.

Encore aujourd'hui, des recherches sont menées pour en apprendre plus sur le nombre Pi.

A quoi sert π en maths ?
Les mathématiciens restent déterminés à percer tous les mystères de Pi. (source : RTL)

Pourquoi le nombre Pi est-il irrationnel et algébrique ?

Pi, un nombre irrationnel

On dit que le nombre Pi est un nombre irrationnel. Cela signifie que π s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique.

Quand utiliser la fonction exponentielle en maths ?
Calculer avec Pi : à quoi ça sert de connaître toutes les décimales ?

Ainsi, on ne peut pas l'exprimer comme un rapport entre deux nombres entiers.

Cela veut dire qu'il est impossible d'écrire π = p/q où p et q sont des entiers.

Prenons le nombre √2. En calculant l'équation x²=2, on peut trouver quel nombre il faut multiplier par lui-même pour trouver 2.

Depuis les apports du mathématicien Ferdinand von Lindermann (1852-1939), on sait qu'il n'existe pas d'équation de type : √π ≠ x²=π.

Même si des mathématiciens en sont persuadés depuis le IXème siècle, le fait que Pi ne soit pas rationnel n'est démontré qu'au XVIIIème siècle par Jean-Henri Lambert, à l'aide d'un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente.

Depuis d'autres mathématiciens ont rendu cette démonstration plus simple, uniquement à l'aide du calcul intégral, la plus connue étant probablement celle d'Ivan Niven.

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La transcendance du nombre π

Au-delà du fait d'être irrationnel, le nombre Pi est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas algébrique : il n'y a aucun polynôme (à coefficient rationnel) dont Pi soit la racine.

Ce résultat a été démontré au XIXe siècle, en 1873. Charles Hermite (1822-1901), mathématicien Français, parvient à prouver que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant.

En 1882, Ferdinand von Lindermann généralise ce raisonnement, et développe le théorème d'Hermite-Lindermann.

Selon ce dernier, si est un algébrique différent de 0, alors ex est transcendant. Or e est algébrique car il est égal à -1.

Du coup, iπ est transcendant. Sachant que i est algébrique, π est transcendant.

De plus, il a été démontré que Pi n'est pas constructible.

C'est une conséquence importante de la démonstration de la transcendance de π.

Selon le théorème de Wantzel, tout nombre constructible est algébrique.

Donc, le fait que tous les points qu'il est possible de construire à la règle et au compas soient des nombres constructibles, rend la quadrature du cercle impossible.

On ne peut donc pas construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle donné.

A quoi sert le nombre Pi ?

Pi ne sert pas uniquement à affoler les élèves de collège qui doivent apprendre quelques formules pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle.

Quel est le périmètre de la Terre ?
Calculer au kilomètre près la circonférence de la planète bleue : quelle formule utiliser ?

Le nombre Pi est utilisé depuis l'Antiquité par les mathématiciens, d'abord pour résoudre des problèmes géométriques, puis dans le calcul intégral et enfin à l'ère informatique pour calculer toujours davantage de décimales de Pi.

Le rôle de π en géométrie

Les formules de géométrie impliquant Pi concernent les cercles et les sphères.

On peut calculer la circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d. Mais aussi plusieurs aires :

  • Aire d'un disque,
  • Aire d'une ellipse de demi-axes,
  • Aire d'une sphère,
  • Aire latérale d'un cylindre,
  • Aire latérale d'un cône.

Et également des volumes :

  • Volume d'une boule,
  • Volume d'un cylindre,
  • Volume d'un cône.

Je ne sais pas vous, mais ce nombre Pi ne me rappelle pas de bons souvenirs de mes années collège en mathématiques. Le nombre était assez obscur pour moi et j'avais du mal à mémoriser les formules l'impliquant. La géométrie n'était vraiment pas mon dada !

Voici quelques exercices pour utiliser le nombre Pi en géométrie :

  1. Le rayon du centre de la Terre à l'équateur est de 6 378,14 km. Quelle distance parcourrait un habitant de Quito (la capitale du pays Equateur) s'il faisait le tour de la Terre sur l'équateur en un jour ?
  2. Un bûcheron mesure le périmètre d'un tronc d'arbre à l'aide d'un mètre et trouve 89 cm. Quel est le diamètre du tronc au centimètre près ?
Pi est partout autour de nous !
Vous ne verrez plus jamais votre compteur de voiture comme avant !

Le nombre Pi dans les probabilités et les statistiques

Les probabilités et les statistiques ne dérogent pas à la règle : Pi est partout !

Il est utilisé par exemple dans la loi normale d'espérance et d'écart type mais aussi dans la loi de Cauchy.

Des mathématiciens ont utilisé π dans des expériences de probabilité. Les probabilité peuvent servir à obtenir une approximation de Pi. C'est notamment le cas de l'expérience intitulée l'aiguille de Buffon.

Cette méthode présente ces limites en ne permettant d'obtenir que quelques décimales de Pi.

Les autres utilisations du nombre Pi

Le nombre Pi est aussi utilisé en mathématiques dans des formules avec :

  • Des nombres complexes,
  • Des suites récursives,
  • Des suites logistiques,
  • Des séries,
  • Des intégrales.

Comme quoi, le nombre Pi est omniprésent en mathématiques et pas seulement dans les formules de mathématiques impossibles à retenir !

Mais Pi est aussi présent partout dans notre quotidien :

  • Une horloge fonctionne grâce à un système d'engrenages qui tournent à l'aide de dents. La taille des dents est définie par la distance constante entre deux points calculée à l'aide du nombre Pi,
  • Votre système électrique fonctionne probablement en courant alternatif. D'où l'utilisation de fonctions périodiques sinusoïdales et Pi est encore impliqué là-dedans,
  • En voiture aussi, Pi n'est jamais loin : « Le compteur dépend du nombre de tours de roues, qui dépend lui-même du périmètre de la roue, qui dépend de Pi », rappelle Jean-Paul Delahaye, mathématicien auteur de Le fascinant nombre Pi.

Et on pourrait continuer la liste un moment...

Comment calculer le nombre Pi ?

Connaître des centaines et des centaines de décimales après 3,1415, apprendre l'histoire du nombre π est intéressant, mais alors, comment peut-on calculer réellement π et tendre vers sa valeur exacte ?

Comment utiliser les maths dans les tâches de la vie courante ?
Quelle est la probabilité qu'une aiguille tombe dans la rainure d'une latte de parquet ?

On peut retenir plusieurs méthodes pratiques pour approcher à quelques chiffres après la virgule une approximation du nombre π.

Le calcul de Pi à partir des mesures d'un cercle

Méthode :

  • Vérifier que tous les points soient à égale distance du centre (que ce soit un cercle),
  • Mesurer le périmètre du cercle,
  • Mesurer le diamètre du cercle,
  • Utiliser la formule de la circonférence (C=π²d). Vous obtiendrez π = C/d,
  • Vérifier le résultat avec des cercles de périmètres différents, calculer la moyenne des résultats trouvés.

Calculer Pi en utilisant une série infinie

Méthode :

  • Avec la formule de Leibniz-Gregory ((4/1)-(4/3)+(4/5)-(4/7)+...) : alterner additions et soustractions de fractions avec 4 au numérateur et un nombre impair croissant au dénominateur. Plus le calcul sera long et plus vous aurez une valeur précise de π,
  • Avec la formule de Nilakantha : alternance d'additions et de soustractions de fractions avec 4 pour numérateur. Le dénominateur est un produit de 3 entiers.

La méthode de Buffon

Non, ce n'est pas le footballeur Italien...

Georges-Louis Leclerc de Buffon est un mathématicien et naturaliste Français du XVIIIe siècle (1707-1788).

En 1733, il réalise une expérience de probabilités avec des aiguilles jetées sur un parquet, lui permettant d'obtenir une approximation de la valeur de π.

L'expérience consistait à lancer un très grand nombre de fois une aiguille sur un parquet.

La probabilité que l'aiguille tombe à cheval sur au moins une rainure du parquet serait égal au nombre Pi.

Buffon comptabilise pour cela le nombre de fois où l'aiguille tombait à cheval sur une rainure du parquet, par rapport au nombre total de lancers.

Au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente, le quotient se rapproche d'un certain nombre permettant de retrouver π.

Calcul de Pi avec la fonction arcsinus

Méthode :

  • Choisir un nombre x dans l'intervalle [-1;1],
  • Remplacer le nombre choisi dans la formule 2*[arcsin (sqrt (1-x^2)) + abs (arcsin(1))].

Faut-il mémoriser le nombre Pi ?

La mémorisation du nombre Pi tourne à l'obsession chez de nombreuses personnes.

Daniel Tammet, autiste Asperger a récité 22 514 décimales en 2004.

Ce record est battu en 2005 par Lu Chao, qui a mémorisé et récité 67 890 décimales.

Le Guinness des Records enregistre une nouvelle performance dix ans plus tard, dans la bouche de l'indien Rajveer Meena qui est capable de donner sans sourciller 70 000 décimales de Pi.

Un Japonais aurait récité 100 000 décimales de Pi en 2005 mais la performance n'a pas été validée par le Guinness des records.

Un neurochirurgien ukrainien en 2009 a affirmé connaître 30 millions de décimales mais une nouvelle fois, le record n'a pas été validé. Il aurait mis plus d'un an à retenir tous ces chiffres.

Pourquoi mémoriser la constante d'Archimède ?
Le record du nombre de décimales de Pi récitée est détenue par un Indien depuis 2015. (source : France 3 Régions)

Si vous voulez tenter de retenir un maximum de décimales de π, il existe plusieurs méthodes, dont la mémorisation d'un poème dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale (un mot de 10 lettres vaut 0) :

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! (3,1415926535)
Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, (8979)
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, (32384626)
Soit ton nom conservé par de savants grimoires ! (43383279)

Jadis, mystérieux, un problème bloquait (etc.)
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l’orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.

Dans l'utilisation normale que l'on peut faire de Pi, il n'y en revanche aucune raison de mémoriser un maximum de décimales du chiffre.

A part pour épater ses amis...

Réponses aux questions :

  1. En utilisant 2πr, on obtient : 40 075,035 kilomètres (arrondis au kilomètre près), 
  2. On peut déterminer le diamètre d'un cercle et son rayon si on a son périmètre. Si P = π x D, alors, D = P / π. Le diamètre du tronc est donc de 28,33 centimètres : π/89 = 28,33.
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Yann

Fondateur de SuperPROF, je suis dévoré par l'envie de découvrir et de toujours apprendre de nouvelles compétences.