Chapitres
"La science, c'est ce que le père enseigne à son fils. La technologie, c'est ce que le fils enseigne à son papa." Michel Serres (né en 1930).
Apprendre les mathématiques requiert parfois un certain degré d'abstraction, notamment en ce qui est du calcul infinitésimal ou infini : notre cerveau a parfois du mal à concevoir les nombres complexes.
Selon l'Organisation de Coopération et de Développement Économique (OCDE), 23 % des élèves Français de moins de 15 ans n'ont pas "le niveau de compétences requis pour pouvoir participer pleinement à la vie de nos sociétés modernes".
Un chiffre édifiant, ajouté d'un autre confirmant le poids de l'origine sociale dans la réussite scolaire : 40 % des élèves issus des classes populaires sont peu performants en maths, contre 5 % à peine de leurs pairs favorisés.
Voici un article de vulgarisation pour tous publics : les nombre e, i et zéro !
Tout savoir sur le zéro en maths !
Parmi les nombres entiers ayant posé problème au cours de l'histoire des mathématiques, on trouve le chiffre zéro.
De nos jours, il nous semble logique d'envisager des nombres entiers négatifs, notamment lorsque surveille les prévisions météorologiques en hiver : ce sont les nombres entiers relatifs.
Pourtant, l'histoire du chiffre zéro fut longue et trouve son lot de blocages selon les cultures et les époques.
Le nombre et chiffre zéro n'existe tel que nous le connaissons que depuis le 13ème siècle !
Et les mathématiciens de la Grèce antique ?
Pour la science antique - Pythagoriciens et autres mathématiciens célèbres Grecs (Thalès, Euclide, Archimède, etc.), ce qui existe n'est qu'un et l'on ne peut décrire ce qui n'existe pas.
Les Grecs des 5ème, 4ème et 3ème siècle avant J-C n'avaient donc aucune écriture pour représenter le vide, la nullité et le néant dans leur système de numération.
Le zéro connaît sa première existence au temps des Babyloniens, où il sert à matérialiser le vide entre les nombres, se trouvant une fonction de position entre les nombres : on écrit alors des symboles entre 7 et 5 pour évoquer le chiffre 705, par exemple.
Le saviez-vous ?
C'est Brahmagupta, un mathématicien Hindou qui, en 628, publie Brahma Sphuta Siddhanta, un traité d’astronomie définissant le zéro en tant que soustraction d’un nombre par lui-même (x – x = 0).
Par héritages successifs, le zéro traverse les frontières des empires, et les théories savantes se multiplient pour tenter de prouver l'existence de ce nombre.
Par exemple, on tente de soustraire, additionner, multiplier et diviser les nombres par 0.
Les savants Hindous découvraient, étant donné qu'il est mathématiquement impossible de diviser un nombre avec 0 comme dénominateur, que plus on divise un nombre par un nombre approché de 0 - juste un peu plus grand que 0 -, plus on s'éloigne de celui-ci de façon exponentielle.
Ils exploraient ainsi les nombres décimaux en admettant que l'intervalle de 0 à 1 se subdivise en une infinité de décimales.
Ainsi découvraient-ils que le zéro est lié à une infinité de valeurs, avec 1/x = l'infini !
Le 0 fait irruption dans l'Europe chrétienne obscurantiste au 12ème siècle, après que les savants Arabes aient repris le chiffre - "sifr" en arabe - et devient de plus en plus calculable.
L'histoire du zéro s'invite en Europe par l'Italien L. Fibonacci, qui publie Liber Abaci, un ouvrage d’arithmétique référençant les connaissances mathématiques de l'époque, y compris celles du monde arabo-musulman.
Le zéro, incarnation du vide, de l'absence de quantité et du néant, a de nombreuses représentations culturelles, populaires et philosophiques.
Voici plusieurs symboles de cette valeur :
- L'absence de valeur, la gratuité,
- L'intégralité (100 %),
- L'origine de toute chose,
- Les limites à atteindre,
- L'unité et l'éternité,
- Le renouveau (d'où l'expression "repartir de zéro"),
- La sécurité,
- L’œuf : la fécondité, la féminité, le fœtus,
- Le cycle, etc.
A la fois positif et négatif, le zéro est neutre et est le seul nombre entier qui fait revenir le résultat à une quantité nulle lorsqu'il est multiplié par n'importe quelle autre valeur !
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Définition et utilisation du nombre e en maths !
On l'appelle "constante de Néper", et sert de base au calcul logarithmique.
Le nombre e est un nombre irrationnel qui s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique.
C'est-à-dire, un nombre que l'on ne peut compter ?
Histoire du nombre e
Par opposition aux nombres rationnels, dont le développement décimal est dit périodique, le nombre e comporte une infinité de décimales qui n'ont aucun ordre logique.
Le ratio 2/7, par exemple, est égal à 0,285714285714285714…
Parmi toutes les décimales après la virgule, la démonstration montre la suite récurrente 285714 reproduite à l'infini.
De nos jours, on sait que e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957… et qu'il y a plus de 8 000 milliards de décimales possibles.
Le mathématicien Gerald Hofmann a, le 3 janvier 2019, réussi à prouver l'existence de 8 000 milliards de valeurs décimales après la virgule, battant le précédent record de 5 000 milliards de décimales trouvées en 2016.
En 1614, John Napier publie Mirifici logarithmorum canonis descriptio, un ouvrage d'arithmétique présentant la création du logarithme, un outil permettant de simplifier les calculs de trigonométrie utilisés pour l'astronomie.
Si notre calculatrice et les ordinateurs donnent les valeur du calcul algorithmique en un seul clic, et si aujourd'hui chaque professeur de mathématiques est capable d'enseigner la fonction logarithmique à ses élèves, ce n'était pas le cas à l'époque moderne.
Les travaux de J. Napier - francisé en J. Néper - consistaient à pouvoir faire une addition à la place de la multiplication, des soustractions à la place de divisions, et des divisions par 2 au lieu d'extraire une racine carrée : c'est la finalité du logarithme.
Au début, les tables de logarithmes présentaient 8 décimales.
Si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000, alors log (1000) = 3 et si 10x = y alors log (y) = x.
D'accord, mais quel rapport avec le nombre e ?
Et bien, celui-ci permet de déterminer pour quelle valeur le logarithme népérien - noté ln (x) - est égal à 1.
L'histoire du nombre e retrace 400 ans d'histoire des maths !
Le mathématicien Jacques Bernoulli (1654-1705) - l'inventeur de la fameuse loi de probabilité éponyme - cherche à maximiser les profits d'un orfèvre en utilisant les intérêts composés.
Il découvre que les intérêts calculés à l'année sont plus faibles que s'ils sont estimés mensuellement, et ils sont encore plus conséquents lorsqu'ils sont calculés de façon quotidienne : par une démonstration mercantile, il découvrait le nombre e.
Plus tard, c'est le Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui théorisa le nombre e, comme expression de la fonction exponentielle, en ayant recours au développement par fraction continue.
Utilisation du nombre e
Aujourd'hui, on peut rencontrer le nombre e dans un problème mathématique, dans la recherche d'un polynôme, dans les équations différentielles, dans le calcul d'aires des figures géométriques, etc.
L'informatique et l'intelligence artificielle - par volonté de dépasser les limites de la réalité augmentée - se sont emparés de la constante e, notamment pour créer des algorithmes dont la puissance de calcul, croissante, dépasse les capacités de réflexion humaines.
A partir du moment où l'on considère que e sert à estimer une grandeur exponentielle, on va retrouver cette constante en démographie et en économie pour estimer la croissance exponentielle d'une population, en biologie pour expliquer la division cellulaire, en physique et en informatique.
Vous ne comprenez pas vos cours de maths, ou bien ceux-ci sentent cruellement le remugle, bien enfouis dans les tiroirs depuis plusieurs années ?
Plusieurs canaux du web permettent de réviser en ligne cette notion incontournable des nouveaux programmes de maths :
- Afterclasse,
- Youtube,
- Educastream,
- Mathématiques Faciles,
- Académie en ligne.
Ceux qui veulent aller plus loin peuvent chercher la formule mathématique d'estimation de e qui leur convient le mieux...
Comment apprendre à utiliser le nombre i en maths ?
Voici un autre théorème mathématique intéressant à explorer : le nombre imaginaire i.
Si on sait qu'en maths, le carré de tout nombre relatif est positif - -4² = 16, par exemple -, on sait que la racine carrée de x est le nombre qui, élevé au carré, est égal à x (la racine carrée de 16 donne 4).
Pourtant, on ne peut pas extraire une racine carrée de nombres négatifs, puisque le carré d'un nombre quel que soit son signe, produit un résultat positif.
Pour pallier à ce grand problème mathématique, dont l'histoire est multiséculaire, un nombre imaginaire pur a été inventé.
Le nombre noté i permet dès lors d'envisager l'extraction de la racine carrée d'un nombre réel : racine de -4 = 2i.
D'après la règles des signes - le produit de deux nombres négatifs est positif -, le carré de -1 est positif puisque -1² = (-1) x (-1) = 1.
La racine carrée de -1 serait un nombre qui élevé au carré, serait égal à -1 : elle n'existe donc pas !
On est dans une impasse ?
Non, car les savants mathématiciens ont fait preuve d'imagination : ils ont noté i la racine carrée du chiffre -1.
Du coup, i est le nombre dont le carré est -1, et sa notation algébrique est i² = -1.
L'histoire de ce nombre imaginaire remonte au 16ème siècle, lorsque Gerolamo Cardano (1501-1576) – Jérôme Cardan - cherche à extraire 
pour résoudre une équation du troisième degré : les nombres complexes émergent dans le langage mathématique.
La recherche mathématique, à l'époque, tente de donner des solutions non réelles aux équations impossibles.
C'est L. Euler qui créa la notation i en 1777, pour qualifier les nombres supposés impossibles ou imaginaires.
Les mathématiciens C. F. Gauss (1777-1855) et Augustin Louis Cauchy (1789-1857) approfondiront les travaux autour des nombres imaginaires purs, permettant de les incorporer parmi les nombres réels dans les calculs.
Puisque le nombre i permet de résoudre des équations qui n’ont pas de solution dans un ensemble réel, celui-ci étend largement le champ des possibles en maths.
En effet, toute équation dont le résultat est négatif n'a aucune solution dans l'ensemble de nombres naturels (par exemple, l'équation x - 10 = -20 = -10), mais est solvable dans l'ensemble des nombres relatifs.
Le nombre i a permis de progresser dans la recherche physique et en électricité, notamment pour le développement du circuit imprimé pour ordinateurs lors de la révolution informatique.
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A quoi sert le nombre Pi ?
π est défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est utilisé pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle. Il est environ égal à 3,1416 mais en réalité les chercheurs estiment qu'il existe plus de 12 mille milliards de décimales. Pi demeure un mystère pour les scientifiques et fait toujours l'objet de nombreuses recherches. C'est un nombre irrationnel et transcendant (non algébrique). Il est principalement utilisé en géométrie mais sert aussi dans les probabilités, les statistiques et d'autres aspects des mathématiques. S'il ne sert à rien de mémoriser le nombre Pi, cela fait l'objet de multiples records !
Qu'est-ce que le nombre d'or en maths ?
Aussi appelé section dorée, divine proportion ou proportion dorée, le nombre d'or, désigné par la lettre grecque φ (phi) définit comme le seul rapport a/b entre deux longueurs a et b. Comme Pi, il s'agit d'un nombre irrationnel qui correspond à l'unique solution de l’équation x2 = x + 1. Son origine remonterait aux pyramides de Khéops et aurait d'abord été utilisé en géométrie. Le premier texte évoquant le nombre d'or a cependant été rédigé par Euclide en -300 mais c'est Platon qui semble y avoir consacré une étude à part entière. Plus tard, il sera mis en relation avec la suite de Fibonacci et sera synonyme de beauté au XXème siècle. Il est utilisé en géométrie et en arithmétique mais est présent partout autour de nous dans la nature, d'où sa mise en relation avec la beauté et la perfection.
Quels sont les nombres premiers ?
Un nombre premier, c'est un entier naturel admettant seulement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers. Le théorème d'Euclide a démontré qu'il en existe une infinité. Il est donc impossible de tous les connaître. Pour vous aider, voici la liste des 25 nombres premiers entre 0 et 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Il est possible d'en trouver davantage grâce à la technique des essais par division et du crible d'Eratosthène. D'autres techniques existent d'ailleurs pour connaître les nombres premiers. Par ailleurs, il existe des nombres premiers particuliers : les nombres premiers jumeaux, ceux de Pythagore, ceux de Mersenne et ceux de Fermat. Besoin de cours de maths 3ème ?
Quels sont les nombres parfaits ?
Un nombre parfait est un nombre naturel tel que la somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même. Ils sont fortement liés aux nombres premiers de Mersenne. Plusieurs théorèmes ont permis de les mettre à jour, dont celui d'Euclide et celui de Fermat. Les nombres parfaits sont assez rares : nous n'en connaissons que 50 aujourd'hui. Ceux qu'on connaît sont tous pairs et il n'y en a que trois entre 0 et 1000 : 6, 26 et 496. Les scientifiques sont incapables de dire s'il existe des nombres parfaits impairs. En revanche, il existe aussi des nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits.
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